Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于O，EO⊥AC，
（1）若△ABE的周長為10cm，求平行四邊形ABCD的周長，
（2）若∠DAB=108°，AE平分∠BAC，試求∠ACB的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC．

∵OE⊥AC，

∴AE=CE．

∴△ABE的周長為AB+AC=10，

根據平行四邊形的對邊相等得，

平行四邊形ABCD的周長為2×10=20cm．

（2）解：∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∵△ACE是等腰三角形，

∴∠CAE=∠ACB

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ACB=∠CAD，

∴∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD=108°，

∴∠ACB=∠CAD=36°．

【解析】（1）根據平行四邊形的對角線互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根據線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得：AE=CE．故△ABE的周長為AB+BC的長．最后根據平行四邊形的對邊相等得：ABCD的周長為2×10=20cm．（2）由已知條件和平行四邊形的性質易求∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD=108°，進而可求出∠ACB的度數．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．