Question

已知，如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD邊上一點（不與C、D重合），以BM為直徑畫半圓交AD于E、F，連接BE，ME．
（1）求證：AE=DF；
（2）求證：△AEB∽△DME；
（3）設AE=x，四邊形ABMD的面積為y，求y關于x的函數關系式和自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設BM的中點為O，過O作OH⊥EF，垂足為H．利用平行線的性質和垂徑定理可求出；
（2）要求證△AEB∽△DME，就要利用三角形相似的判定證明，從題中互余的關系可知三角相等，利用AAA定理可證明；
（3）要求四邊形ABMD的面積為y與邊的關系，就要利用面積公式列出式子，再分析看成變量x的最值范圍．

解答：（1）證明：設BM的中點為O，過O作OH⊥EF，垂足為H，
∵OB=OM，∴AH=DH．根據垂徑定理可知EH=FH，∴AE=DF；

（2）證明：∵BM是圓O的直徑，
∴∠BEM=90°，
∴∠AEB+∠DEM=90°，
∴∠AEB=∠DME，
∴△AEB∽△DME；

（3）解：∵△AEB∽△DME，∴

AB

DE

=

AE

DM

，
∵AB=1，AE=x，∴DE=2-x，
∴DM=x（2-x），y=

1

2

（AB+DM）•AD=-x²+2x+1．
自變量的取值范圍是0＜x＜1．

點評：本題綜合考查了平行線，垂徑定理和相似三角形的判定及矩形的面積公式等計算能力．