Question

已知△ABC中，AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，過(guò)B₁作B₁B₂∥BC交AB于B₂，作B₂B₃平分∠AB₂B₁，交AC于B₃，過(guò)B₃作B₃B₄∥BC，交AB于B₄…依次進(jìn)行下去，則B₉B₁₀線段的長(zhǎng)度用含有m的代數(shù)式可以表示為

 

．

Answer 1

分析：因?yàn)檫^(guò)B₁作B₁B₂∥BC交AB于B₂，所以△AB₂B₁∽△ABC，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，因?yàn)锳B=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，所以△BCB₁和△B₂B₁B是等腰三角形，根據(jù)余弦定理，可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，可求出B₂B₁的長(zhǎng)，進(jìn)而同理可求出B₉B₁₀的長(zhǎng)，設(shè)B₂B₁是x，則B₂B是x．

解答：解：∵AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，
∴△BCB₁和△B₂B₁B是等腰三角形，
∵過(guò)B₁作B₁B₂∥BC交AB于B₂，
∴

AB2

AB

=

B2B1

BC

，
∵BC=AB²+AC²-2AB•ACcos36°，
∴BC=

3- 5 2

m，
設(shè)B₂B₁是x，則B₂B是x．
∴

m-x

m

=

x

3- 5 2 m

，
∴x=

3- 5 2   m2

m+ 3- 5 2 m

即：x=

3- 5 2 m

1+ 3- 5 2

．
同理可求出B₉B₁₀=(

5 -1

2

)6m．
故答案為：(

5 -1

2

)6m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是知道相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，以及余弦定理求出BC的長(zhǎng)，找出規(guī)律求出值．