Question

解答題：
（1）設互為補角的兩個角的差為60°，求較小角的余角．
（2）設一個角的補角是這個角的余角的5倍，求這個角的度數．
（3）如圖，∠1=∠2，∠EMB=55°，試求∠DNF的度數．

（4）如圖，△ABC三個頂點分別表示三個小區，AB，BC，AC是連接三個小區的已有自來水管道，某工程隊現在要△ABC在內部（包括邊上）建一個自來水公司M，M到AB，BC，AC的距離和計為L，已知AB=4，BC=5，AC=6，問自來水供應M在哪個位置，工程對才有最大的經濟效益（即L最小）

Answer 1

分析：（1）（2）分別利用余角和補角的定義來求，（3）利用平行線的判定和性質來做，（4）設△ABC的內切圓的圓心為M，利用余弦定理和三角形的面積公式，可求出R的長．

解答：（1）30°
解：設較小的角為x，則較大的角為x+60°，
所以x+x+60°=180°，
解得x=60°，
所以較小的角的余角為90°-60°=30°．

（2）67.5°
解：設這個角為x，
所以180°-x=5（90°-x），
解得x=67.5°．

（3）125°
解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
又∵∠EMB=55°，
∴∠1=∠2=∠EMB=55°
∴∠DNF=180°-∠2=125°．

（4）由題意可知，點M為△ABC內切圓的圓心時，L最小，
在△ABC中，cosB=

AB2+BC2-AC2

2×AB×BC

=

1

8

，
∴sinB=

1- 1 82

=

3 7

8

，
∴△ABC的面積為

1

2

×AB×BC×sinB=

15 7

4

，
設△ABC內切圓的半徑為R，則△ABC的面積為

1

2

×(AB+BC+AC)×R=

15 7

4

，
解得R=

7

2

．

點評：（1）-（3）題涉及余角、補角的知識，難度不大，第（4）題，涉及三角形內切圓，余弦定理，三角形面積等知識，并且與實際問題相結合，計算量也比較大，難度偏難．