Question

如圖，Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°，在AC邊上取點O畫圓使⊙O經過A、B兩點，
（1）求證：以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切．
（2）下列結論正確的序號是

①③④

．（少選酌情給分，多選、錯均不給分）
①AO=2CO；
②AO=BC；
③延長BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點．
④圖中陰影面積為：(

1

3

π+

3

8

)•OA2．

Answer 1

分析：（1）證明O在∠ABC的角平分線上，所以點O到直線AB的距離等于OC的長，即d=r，即可證明以OC為半徑的圓與AB相切；
（2）連接OB，可得∠ABO=30°，則∠OBC=30°，根據直角三角形的性質得OC=

1

2

OB=

1

2

OA，再根據三角函數cos∠OBC=

BC

OB

，則BC=

3

2

OB，因為點O在∠ABC的角平分線上，所以點O到直線AB的距離等于OC的長，根據垂徑定理得直線AC是弦BD的垂直平分線，則點A、B、D將⊙O的三等分

解答：（1）證明：連接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABO=∠OBC=30°，
∴點O在∠ABC的角平分線上，
∴點O到直線AB的距離等于OC的長，
即以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切；

（2）解：連接OB，∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

OA，
即OA=2OC，
故①正確；
∵cos∠OBC=

BC

OB

，
∴BC=

3

2

OB，
即BC=

3

2

OA，
故②錯誤；
延長BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴

AD

=

AB

=

BD

，
∴點A、B、D將⊙O的三等分．
故③正確；
連接OD，則陰影部分的面積=直角三角形ODC的面積+扇形AOD的面積=(

1

3

π+

3

8

)•OA2，
故④正確；
故答案為①③④．

點評：本題考查了直角三角形的性質、勾股定理和垂徑定理，是基礎知識要熟練掌握．