Question

【題目】小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．
（1）設小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍．
（2）當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？
（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進價×銷售量）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得：w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）
（2）解：對于函數w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線 ．

又∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下．∴當20≤x≤32時，W隨著X的增大而增大，

∴當x=32時，W=2160

答：當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元

（3）解：取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000

解這個方程得：x1=30，x2=40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下．

∴當30≤x≤40時，w≥2000．

∵20≤x≤32

∴當30≤x≤32時，w≥2000．

設每月的成本為P（元），由題意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000

∵k=﹣200＜0，

∴P隨x的增大而減小．

∴當x=32時，P的值最小，P最小值=3600．

答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元

【解析】（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數，利潤=（定價﹣進價）×銷售量，從而列出關系式；（2）首先確定二次函數的對稱軸，然后根據其增減性確定最大利潤即可；（3）根據拋物線的性質和圖象，求出每月的成本．