Question

（2006•福州）我們知道，“直角三角形斜邊上的高線將三角形分成兩個與原三角形相似的直角三角形”用這一方法，將矩形ABCD分割成大小不同的七個相似直角三角形．按從大到小的順序編號為①至⑦（如圖），從而割成一副“三角七巧板”．已知線段AB=1，∠BAC=θ．
（1）請用θ的三角函數表示線段BE的長______；
（2）圖中與線段BE相等的線段是______；
（3）仔細觀察圖形，求出⑦中最短的直角邊DH的長．（用θ的三角函數表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形ABE中，用AB的長和正弦函數來求出BE．
（2）應該是DF，因為矩形ABCD中，AB=CD，∠BAC=∠ACD=θ，那么DF也應該是sinθ，因此BE=DF．（也可用全等來證明）
（3）由于這些三角形都相似，那么∠DFG=∠DGH=∠ACD=θ，那么可先在直角三角形FGD中，用FG和正弦函數求出GD，然后在直角三角形GHD中，用DG和正弦函數求出DH．
解答：解：（1）∵sinθ=，AB=1，
∴BE=sinθ．

（2）∵AB=CD，∠BAC=∠ACD=θ，
∴DF也應該是sinθ，
∴BE=DF．

（3）解：由（1）（2）知DF=BE=sinθ，
由題意得Rt△DFG∽Rt△CAB，
∴∠DFG=∠CAB=θ．
在Rt△DFG中，
∵sin∠DFG=，DF=sinθ，
∴DG=sin²θ．
∵Rt△DGH∽Rt△DFG，
∴∠DGH=∠DFG=θ．
在Rt△DGH中，
sin∠DGH=，DG=sin²θ，
∴DH=sin³θ．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質和解直角三角形的綜合應用，根據已知和所求的條件正確的選用三角函數是解題的關鍵．