Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求證：OF∥BC；
（2）求證：△AFO≌△CEB；
（3）若EB=5cm，CD=10cm，設OE=x，求x值及陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角，以及垂直于同一直線的兩直線平行即可證得；
（2）根據垂徑定理以及等弧所對的圓周角相等，即可證得：△AFO和△CEB的兩個角相等，從而證得兩個三角形相似；
（3）根據勾股定理求得x的值，然后根據陰影部分的面積=扇形COD的面積-△COD的面積即可求解．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴AC⊥BC
又∵OF⊥AC
∴OF∥BC

（2）證明：∵AB⊥CD
∴=
∴∠CAB=∠BCD
又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，
∴△AFO≌△CEB

（3）解：連接DO．設OE=x，
∵AB⊥CD
∴CE=CD=5cm．
在直角△OCE中，OC=OB=x+5（cm），
根據勾股定理可得：（x+5）²=（5）²+x²
解得：x=5，即OE=5，
∴tan∠COE===，
∴∠COE=60°
∴∠COD=120°，
∴扇形COD的面積是：=cm²
△COD的面積是：CD•OE=×10×5=25cm²
∴陰影部分的面積是：（-25）cm²．
點評：本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，以及扇形的面積的計算，正確求得∠COE的度數是解決本題的關鍵．