Question

如圖1，圓O₁與圓O₂都經過A、B兩點，經過點A的直線CD與圓O₁交于點C，與圓O₂交于點D．經過點B的直線EF與圓O₁交于點E，與圓O₂交于點F．

（1）求證：CE∥DF；
（2）在圖1中，若CD和EF可以分別繞點A和點B轉動，當點C與點E重合時（如圖2），過點E作直線MN∥DF，試判斷直線MN與圓O₁的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需連接AB，利用“圓的內接四邊形的外角等于內對角”證明∠E+∠F=180°，從而證明CE∥DF；
（2）作輔助線：構造直徑所對的圓周角是90°．利用平行線的性質求出∠ABE=∠AHE，根據“圓的內接四邊形的外角等于內對角”得出∠D=∠ABE，所以得到∠MEA=∠AHE，∠MEA+∠AEH=90°，利用切線的判定定理，可知MN為⊙O₁的切線．
解答：（1）證明：連接AB；
∵四邊形ABEC是⊙O₁的內接四邊形，
∴∠BAD=∠E．
又∵四邊形ADFB是⊙O₂的內接四邊形，
∴∠BAD+∠F=180°．
∴∠E+∠F=180°．
∴CE∥DF．

（2）解：MN與⊙O₁相切，
過E作⊙O₁的直徑EH，連接AH和AB；
∵MN∥DF，
∴∠MEA=∠D．
又∵∠D=∠ABE，∠ABE=∠AHE，
∴∠MEA=∠AHE．
∵EH為⊙O₁的直徑，
∴∠EAH=90°．
∴∠AHE+∠AEH=90°．
∴∠MEA+∠AEH=90°．
又∵EH為⊙O₁的直徑，
∴MN為⊙O₁的切線．
點評：本題主要考查了相交兩圓的性質和圓內接四邊形的有關性質．這些基本性質和輔助線的基本作法要掌握．
“圓的內接四邊形的外角等于內對角”、“圓的內接四邊形的對角互補”是圓內接四邊形中的基本性質．