Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，∠D=30°．
（1）求證：CA=CD；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積S．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，利用切線的性質和圓的半徑相等即可證明CA=CD；
（2）過O作OE⊥AC于E，由圖可知，圖中陰影部分的面積S=S_△AOC+S_扇形COB，分別求出三角形的面積和扇形的面積即可．
解答：（1）證明：連接OC，
∵過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠A=∠D，
∴CA=CD；

（2）解：過O作OE⊥AC于E，
∵∠A=30°，A0=2，
∴OE=1，
∴AE=CE=，
∴AC=2
∴S_△AOC=×AC×OE=，
∵∠COB=60°，OC=2，
∴S_扇形COB=•π×4=π，
∴圖中陰影部分的面積S=S_△AOC+S_扇形COB=+π．
點評：本題考查了切線的性質，等腰三角形的判定和性質以及三角形的面積公式和扇形的面積公式，解題的關鍵是連接圓心和切點構造垂直．