Question

如圖所示，設P為正△ABC外接圓⊙O劣弧上任一點，弦AP與弦BC交于D，連結BP，CP．求證：PB，PC是方程x²－PA·x＋PA·PD＝0的兩個根．

Answer 1

答案：
解析：

如圖所示，延長BP到F，使PF＝PC連結CF 　　因為△ABC是正三角形，所以∠BAC＝．因為∠CPF＋∠CPB＝，且∠CPB＋∠BAC＝，所以∠CPF＝∠BAC＝，所以△PCF為正三角形．又因為AC＝BC，∠PAC＝∠CBF，所以∠PCA＝∠FCB＝＋∠BCP．所以△APC≌△BFC，PA＝BF＝BP＋PF＝PB＋PC①，又因為∠PCD＝∠PAB，∠DPC＝∠BPA＝，所以△ABP∽△CDP．因為＝，即PB·PC＝PA·PD②，由①②兩式知PB，PC是方程x2－PA·PD＝0的兩根．