Question

【題目】拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）兩點，與y軸交于點C．

（1）設AB=2，tan∠ABC=4，求該拋物線的解析式；

（2）在（1）中，若點D為直線BC下方拋物線上一動點，當△BCD的面積最大時，求點D的坐標；

（3）是否存在整數a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）y=4x2﹣16x+12；（2）P（，﹣3）．（3）不存在．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）由tan∠ABC=4，可設B（m，0），則A（m-2，0），C（0，4m），可得拋物線的解析式為y=4(x-m)(x-m+2),把C點坐標代入即可求解；

（2）設P（m，4m2-16m+12）.作PH∥OC交BC于H，根據SΔPBC=SΔPHC+SΔPHB，構建二次函數，求解即可；

（3）不存在.假設存在，由題意知， 且1＜﹣＜2，求出a的值，解不等式組即可得解.

試題解析：（1）∵tan∠ABC=4

∴可以假設B（m，0），則A（m﹣2，0），C（0，4m），

∴可以假設拋物線的解析式為y=4（x﹣m）（x﹣m+2），

把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，

∴拋物線的解析式為y=4（x﹣3）（x﹣1），

∴y=4x2﹣16x+12，

（2）如圖，設P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），

∴直線BC的解析式為y=﹣4x+12，

∴H（m，﹣4m+12），

∴S△PBC=S△PHC+S△PHB=（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）3=﹣6（m﹣）2+，

∵﹣6＜0，

∴m=時，△PBC面積最大，

此時P（，﹣3）．

（3）不存在．

理由：假設存在．由題意可知，

且1＜﹣＜2，

∴4＜a＜8，

∵a是整數，

∴a=5 或6或7，

當a=5時，代入不等式組，不等式組無解．

當a=6時，代入不等式組，不等式組無解．

當a=7時，代入不等式組，不等式組無解．

綜上所述，不存在整數a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立．