Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為12cm，點P、Q分別是邊BC、CA上的動點，點P、Q分別從頂點B、C同時出發，且它們的速度都為3cm/s．

（1）如圖1，連接PQ，求經過多少秒后，△PCQ是直角三角形；

（2）如圖2，連接AP、BQ交于點M，在點P、Q運動的過程中，∠AMQ的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的度數．

Answer 1

【答案】（1）經過秒或秒，△PCQ是直角三角形（2）∠AMQ的大小不變

【解析】

（1）分兩種情形分別求解即可解決問題；

（2）由△AB≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，可得∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°即可．

（1）設經過t秒后，△PCQ是直角三角形．

由題意：PC＝（12﹣3t）cm，CQ＝3t，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C＝60°，

當∠PQC＝90°時，∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，

∴12﹣3t＝6t，

解得t＝；

當∠QPC＝90°時，∠PQC＝30°，

∴CQ＝2PC，

∴3t＝2（12﹣3t），

解得t＝，

∴經過秒或秒，△PCQ是直角三角形；

（2）結論：∠AMQ的大小不變．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，

∵點P，Q的速度相等，

∴BP＝CQ，

在△ABP和△BCQ中，

，

∴△AB≌△BCQ（SAS），

∴∠BAP＝∠CBQ，

∴∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°．