Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，BC＝AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

（1）求證：點D是AB的中點；

（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（3）若⊙O的直徑為10，tanB＝3，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE是⊙O的切線，證明見解析；（3）3

【解析】

（1）連接CD，利用圓中直徑所對的圓周角等于90°以及等腰三角形的性質即可解決問題；

（2）連接OD，先得出OD為△ABC的中位線，再由平行線的性質可證明DE⊥OD，從而得出結論；

（3）在Rt△BCD中，tanB＝＝3，設BD＝k，則CD＝3k，則根據勾股定理可求出k的值，然后利用面積法可知ADDC＝ACDE，由此即可解決問題．

（1）證明：連接CD．

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC＝90°，

∴CD⊥AB，

∵CB＝CA，

∴BD＝AD，

∴點D是AB的中點；

（2）解：結論：DE是⊙O的切線．

證明如下：連接OD．

∵BD＝AD，BO＝OC，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（3）解：在Rt△BCD中，tanB＝＝3，設BD＝k，則CD＝3k，

則根據勾股定理得：9k2+k2＝100，

∴k＝或﹣（舍去），

∴CD＝3，AD＝BD＝，AC＝CB＝10，

∵S△ACD=ADDC＝ACDE，

∴DE＝＝3．