Question

如圖，對稱軸為x=3的拋物線y=ax²+2x與軸相交于點B、O。
（1）求拋物線的解析式，并求出頂點A的坐標；
（2）連結AB，把AB所在的直線平移，使它經過原點O，得到直線l.點P是l上一動點，設以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標為t，當0＜S≤18時，求t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當t取最大值時，拋物線上是否存在點Q，使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵點B與O（0，0）關于x=3對稱， ∴點B坐標為（6，0）， 將點B坐標代入， 得：36a+12=0， ∴， ∴拋物線解析式為， 當x=3時，， ∴頂點A坐標為（3，3）， （說明：可用對稱軸為，求a值，用頂點式求頂點A坐標）
（2）設直線AB解析式為y=kx+b， ∵A（3，3），B（6，0）， ∴ 解得 ∴， ∵直線l∥AB且過點O， ∴直線l解析式為y=-x， ∵點p是l上一動點且橫坐標為t， ∴點p坐標為（t，-t）， 當p在第四象限時（t＞0）， =12×6×3+×6×|t| =9+3t， ∵0＜S≤18， ∴0＜9+3t≤18， ∴-3＜t≤3， 又t＞0， ∴0＜t≤3.5， 當p在第二象限時（t＜0）， 作PM⊥x軸于M，設對稱軸與x軸交點為N， 則   =-3t+9， ∵0＜S≤18， ∴0＜-3t+9≤18， ∴-3≤t＜3， 又t＜0， ∴-3≤t＜0.6， ∴t的取值范圍是-3≤t＜0或0＜t≤3；
（3）存在，點Q坐標為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）。