Question

（2004•茂名）已知：△ABC的兩邊AB、BC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+2）x+k²+2k=0的兩個實數根，第三邊長為10．問當k為何值時，△ABC是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：因為方程有兩個實根，所以△＞0，從而用k的式子表示方程的解，根據△ABC是等腰三角形，分AB=AC，BC=AC，兩種情況討論，得出k的值．
解答：解法一：∵△=[-（2k+2）]²-4（k²+2k）=4k²+8k+4-4k²-8k≥0，（2分）
∴x=
∴x₁=k+2，x₂=k，（4分）
設AB=k+2，BC=k，顯然AB≠BC
而△ABC的第三邊長AC為10
（1）若AB=AC，則k+2=10，得k=8，即k=8時，△ABC為等腰三角形；（7分）
（2）若BC=AC，則k=10，即k=10時．△ABC為等腰三角形．（9分）
解法二：由已知方程得：（x-k-2）（x-k）=0
∴x₁=k+2，x₂=k（4分）
[以下同解法一]．
點評：解本題要充分利用條件，選擇適當的方法求解k的值，從而證得△ABC為等腰三角形．