Question

【題目】如圖，已知∠MON，點(diǎn)A在射線OM上．根據(jù)下列方法畫(huà)圖．

①以O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交ON于點(diǎn)B，交射線OM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接BC；

②以OA為邊，在∠MON的內(nèi)部，畫(huà)∠AOP＝∠OCB；

③連接AB，交OP于點(diǎn)E；

④過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，交OP于點(diǎn)F．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證∠MOP＝∠PON；

（3）若∠MON＝60°，OF＝10，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示，見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）AE＝．

【解析】

（1）題干要求根據(jù)下列方法畫(huà)圖，根據(jù)題意用尺規(guī)補(bǔ)全圖形即可.

（2）題干要求證∠MOP＝∠PON，根據(jù)圓周角定理知道∠MON＝2∠OCB，從而進(jìn)行分析證明即可.

（3）根據(jù)FA是⊙O的切線，可以知道FA⊥OA，∠MON＝60°，利用銳角三角函數(shù)可以求知OA＝OB，進(jìn)而求知∠MOP＝∠PON，求出AE的長(zhǎng).

解：（1）如圖所示：

（2）∵∠MON＝2∠OCB，

∵∠AOP＝∠OCB，

∴∠BOP＝∠OCB＝∠AOP，

即∠MOP＝∠PON；

（3）∵∠MON＝60°，

∴∠AOP＝30°，

∵FA是⊙O的切線，

∴FA⊥OA，

∵OF＝10，

∴OA＝5，

∵OA＝OB，

∴△OAB是等邊三角形，

∵∠MOP＝∠PON，

∴OE⊥AB，

∴AE＝．