Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-4，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）點P是拋物上第三象限內的一動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABCP的面積最大？求出此時點P的坐標和四邊形ABCP的面積；
（3）點M在拋物線對稱軸上，點N是平面內一點，是否存在這樣的點M、N，使得以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-4，0）、B（3，0）兩點，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y=x²+x-4；

（2）如圖，設點P的坐標為（m，m²+m-4），則-4＜m＜0，m²+m-4＜0．連接OP．
∵S_{四邊形ABCP}=S_△AOP+S_△COP+S_△BOC
=×4（-m²-m+4）+×4（-m）+×4×3
=-m²-m+14
=-（m+2）²+，
∴當m=-2時，四邊形ABCP的面積最大，最大值為，此時點P的坐標為（-2，-）；

（3）存在這樣的點M、N，能夠使得以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形．理由如下：
∵OB=3，OC=4，∠BOC=90°，
∴BC==5．
設M點的坐標為（-，y），分兩種情況討論：
（i）以BC為邊長時，
如果四邊形CBMN是菱形，那么BM=BC，
即（3+）²+y²=25，解得y=±，
即存在M（-，）或（-，-），能夠使以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形；
如果四邊形BCMN是菱形，那么CM=BC，
即（0+）²+（y+4）²=25，
整理，得4y²+32y-35=0，解得y=-4±，
即存在M（-，-4+）或（-，-4-），能夠使以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形；
（ii）以BC為對角線時，四邊形MCNB是菱形，則BM=CM，
即（3+）²+y²=（0+）²+（y+4）²，解得y=-，
即存在M（-，-），能夠使以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形；
綜上可知，存在這樣的點M、N，使得以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形，此時點M的坐標為：M₁（-，），M₂（-，-4+），M₃（-，-），M₄（-，-4-），
M₅（-，-）．
分析：（1）將A（-4，0）、B（3，0）兩點的坐標代入y=ax²+bx-4，運用待定系數法即可求出拋物線的函數關系式；
（2）設點P的坐標為（m，m²+m-4），則-4＜m＜0．根據S_{四邊形ABCP}=S_△AOP+S_△COP+S_△BOC，得出S_{四邊形ABCP}=-（m+2）²+，由二次函數的性質即可求解；
（3）在直角△BOC中，由勾股定理求出BC=5．設M點的坐標為（-，y），如果以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況討論：（i）以BC為邊長時，又分兩種情況，如果四邊形CBMN是菱形，那么由BM=BC，列出關于y的方程，解方程即可；如果四邊形BCMN是菱形，那么由CM=BC，列出關于y的方程，解方程即可；（ii）以BC為對角線時，四邊形MCNB是菱形，則由BM=CM，列出關于y的方程，解方程即可．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求拋物線的解析式，四邊形的面積求法，二次函數的性質，勾股定理，菱形的判定與性質，綜合性較強，有一定難度．其中（3）需要注意分析題意分情況進行討論，否則容易漏解．