Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5，AD=8，CD=3，線段AD上有一動點E，以E點為圓心，作一個圓E與線段AB相切于點F，
（1）求sinA的值；
（2）若設DE=x，EF=y，試寫出y關于自變量x的函數關系式和x的取值范圍；
（3）當△AEF與△CED相似時，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）首先過點B作BH⊥AD于H，易證得四邊形BCDH是矩形，即可求得BH的值，然后由sinA=

BH

AB

，即可求得答案；
（2）由DE=x，AD=8，即可求得AE的長，又由⊙E與AB相切于F點，即可得sinA=

EF

AE

，又由（1）可得

y

8-x

=

3

5

，繼而求得y關于自變量x的函數關系式和x的取值范圍；
（3）分別從△AEF∽△CED與△AEF與△ECD去分析，根據三條對應邊的比相等的三角形相似，即可求得答案．

解答：解：（1）過點B作BH⊥AD于H，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BHD=∠D=∠DCB=90°，
∴四邊形BCDH是矩形，
∴BH=CD=3，
∴sinA=

BH

AB

=

3

5

；（2分）

（2）∵DE=x，AD=8，
∴AE=8-x，
∵⊙E與AB相切于F點，
∴∠AFE=90°，
∴sinA=

EF

AE

，
即

y

8-x

=

3

5

，
∴y=

24-3x

5

（4分），
其中定義域為

7

4

≤x＜8；（（1分）

（3）當△AEF∽△CED相似時，

AE

CE

=

EF

ED

=

AF

CD

，
即

8-x

9+x2

=

3 5 (8-x)

x

=

4 5 (8-x)

3

，
解得x=

9

4

，（2分）
當△AEF∽△ECD相似時，

AE

EC

=

EF

CD

=

AF

ED

，
即

8-x

9+x2

=

3 5 (8-x)

3

=

4 5 (8-x)

x

，
解得x=4．（2分）
∴DE的長為

9

4

或4．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，直角梯形的性質以及圓的切線的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想、方程思想與分類討論思想的應用，注意輔助線的作法．