Question

問題探究
（1）在圖①的半徑為R的半圓O內(nèi)（含弧），畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個正三角形的面積？
（2）在圖②的半徑為R的半圓O內(nèi)（含弧），畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個正方形的面積？
問題解決
（3）如圖③，現(xiàn)有一塊半徑R=6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請說明理由，并求出這個矩形的面積；若不存在，說明理由？

Answer 1

分析：（1）如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形．連接OC，則OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系求出OB，再利用三角形的面積公式計算即可；
（2）如圖②，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形．連接OA．令OB=a，則AB=2a，利用勾股定理求出邊長，再利用正方形的面積公式計算即可；
（3）如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對稱圖形，A、D的對稱點分別是A′、D′．
連接A′D、OD，則A′D為⊙O的直徑．在Rt△AA′D中，當OA⊥A′D時，S_△AA′D的面積最大．

解答：解：（1）如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形．
連接OC，則OC⊥AB．
∵AB=2OB•tan30°=

2 3

3

R，
∴S_△ACB=

1

2

AB•OC=

1

2

×

2 3

3

R•R=

3

3

R2．

（2）如圖②，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形．
連接OA．令OB=a，則AB=2a．
在Rt△ABO中，a²+（2a）²=R²．
即a2=

1

5

R2．
S_{正方形ABCD}=（2a）²=

4

5

R2．

（3）存在．
如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對稱圖形，A、D的對稱點分別是A′、D′．
連接A′D、OD，則A′D為⊙O的直徑．
∴S_矩形ABCD=AB•AD=

1

2

AA′•AD=S_△AA′D．
∵在Rt△AA′D中，當OA⊥A′D時，S_△AA′D的面積最大．
∴S_{矩形ABCD最大}=

1

2

•2R•R=R2=36．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)以及勾股定理．