Question

(本題12分)已知二次函數的圖象如圖所示．

【小題1】（1）求二次函數的解析式及拋物線頂點M的坐標；
【小題2】（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為s，求s與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；
【小題3】（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
【小題4】（4）將△OAC補成矩形，使上△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）．

Answer 1

【小題1】（1）y=a（x+1）（x﹣2），∵﹣2=a×1×（﹣2），∴a=1，∴y=x²﹣x﹣2，其頂點坐標是（，﹣）
【小題2】（2）設線段BM所在的直線的解析式為：y=kx+b，點N的坐標為N（h，﹣t），
則0=2k+b，﹣，解它們組成的方程組得：k=，b=﹣3，
所以線段BM所在的直線的解析式為：y=x﹣3，N點縱坐標為：﹣t，
∴﹣t=h﹣3，∴h=2﹣t，其中，∴s=（2+t）（2﹣t）=﹣t²+t+3，
∴s與t間的函數解析式為：s=﹣t²+t+3，自變量的取值圍是：；
【小題3】（3）存在符合條件的點P，且坐標是：P₁（，），P₂（）．
設點P的坐標為P（m，n），則 n=m²﹣m﹣2，PA²=（m+1）²+n²,PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下幾種情況討論：（ⅰ）若∠APC=90°則AC²=PC²+AP²．可得：m²+（n+2）²+（m+1）²+n²=5，解得：，m₂=﹣1（舍去）．所以點．（ⅱ）若∠PAC=90°，則PC²=PA²+AC²∴n=m²﹣m﹣2（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5解得：，m₄=0（舍去）．所以點P₂（，﹣）．
（ⅲ）由圖象觀察得，當點P在對稱軸右側時，PA＞AC，所以邊AC的對角∠APC不可能直角
【小題4】（4）P₁（﹣1，﹣2）或P₂（﹣），（，﹣）

解析