Question

（2006•河北）某公司為一工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸．該經銷店為提高經營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經市場調查發現：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．設每噸材料售價為x（元），該經銷店的月利潤為y（元）．
（1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；
（2）求出y與x的函數關系式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）該經銷店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？
（4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大．”你認為對嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題屬于市場營銷問題，月利潤=（每噸售價-每噸其它費用）×銷售量，銷售量與每噸售價的關系要表達清楚．再用二次函數的性質解決最大利潤問題．
解答：解：（1）由題意得：
45+×7.5=60（噸）．
（2）由題意：
y=（x-100）（45+×7.5），
化簡得：y=-x²+315x-24000．
（3）y=-x²+315x-24000=-（x-210）²+9075．
利達經銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應定為每噸210元．
（4）我認為，小靜說的不對．
理由：方法一：當月利潤最大時，x為210元，
而對于月銷售額W=x（45+×7.5）=-（x-160）²+19200來說，
當x為160元時，月銷售額W最大．
∴當x為210元時，月銷售額W不是最大．
∴小靜說的不對．
方法二：當月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元；
而當x為200元時，月銷售額為18000元．∵17325＜18000，
∴當月利潤最大時，月銷售額W不是最大．
∴小靜說的不對．
（說明：如果舉出其它反例，說理正確，也可以）
點評：本題考查了把實際問題轉化為二次函數，再對二次函數進行實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．