Question

3．若$\vec a，\vec b$滿足|$\vec a|=1$，|$\vec b|=2$，且$（\vec a+\vec b）⊥\vec a$，則$\vec a$與$\vec b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$即可得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，進行數量積的運算即可得出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，從而求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角．

解答 解：根據條件，∵$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1+2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
且$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量數量積的運算及計算公式，以及向量夾角的范圍．