Question

（2012•相城區一模）直線y=-2x+5分別與x軸，y軸交于點C、D，與反比例函數y=

3

x

的圖象交于點A、B．過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，連接EF，下列結論：①AD=BC；②EF∥AB；③四邊形AEFC是平行四邊形；④S_△AOD=S_△BOC．其中正確的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①先把反比例函數、一次函數解析式聯合組成方程組，解可求A、B坐標，根據y=-2x+5可求C、D的坐標，而AE⊥y軸，BF⊥x軸，結合A、B、C、D的坐標，可知AE=1，DE=OD-OE=5-3=2，在Rt△ADE中利用勾股定理可求AD=

5

，同理可求BC=

5

，于是AD=BC，①正確；
②根據A、B、C、D的坐標，易求OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，即OF：OE=OC：OD，斜率相等的兩直線平行，那么EF∥AB，故②正確；
③由于AE=CF=1，且AE∥CF，根據一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，可知四邊形AEFC是平行四邊形，故③正確；
④根據面積公式可分別求S_△AOD，S_△BOC，可知兩個面積相等，故④正確．

解答：解：如右圖所示，
①∵y=-2x+5與y=

3

x

相交，
∴

y=-2x+5 y= 3 x

，
解得

x=1 y=3

或

x= 3 2 y=2

，
∴A點坐標是（1，3），B點坐標是（

3

2

，2），
∵直線y=-2x+5與x軸和y軸的交點分別是（

5

2

，0）、（0，5），
∴C點坐標是（

5

2

，0），D點坐標是（0，5），
∵AE⊥y軸，BF⊥x軸，
∴AE=1，DE=OD-OE=5-3=2，
在Rt△ADE中，AD=

12+22

=

5

，
同理可求BC=

5

，
故AD=BC，
故①選項正確；
②∵OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，
∴EF∥AB，
故②選項正確；
③∵AE=CF=1，且AE∥CF，
∴四邊形AEFC是平行四邊形，
故③選項正確；
④∵S_△AOD=

1

2

•OD•AE=

1

2

×5×1=2.5，
S_△BOC=

1

2

•OC•BF=

1

2

×

5

2

×2=2.5，
∴S_△AOD=S_△BOC，
故④選項正確．
故選D．

點評：本題考查了反比例函數、一次函數的性質、三角形面積公式、勾股定理、平行四邊形的判定，解題的關鍵是熟練點與函數的關系，能根據函數解析式求出所需要的點．