Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，如果△APQ的周長為2，則∠PCQ的度數為（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．40°

Answer 1

分析：簡單的求正方形內一個角的大小，首先從△APQ的周長入手求出PQ=DQ+BP，然后將△CDQ逆時針旋轉90°，使得CD、CB重合，然后利用全等來解．

解答：解：如圖所示，
△APQ的周長為2，即AP+AQ+PQ=2①，
正方形ABCD的邊長是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，
∴AP+AQ+QD+PB=2②，
①-②得，PQ-QD-PB=0，
∴PQ=PB+QD．
延長AB至M，使BM=DQ．連接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，
PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．
在△CPQ與△CPM中，
CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ=∠PCM=

1

2

∠QCM=45°．
故選B．

點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質及正方形的性質，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質，會運用正方形的性質進行一些簡單的運算．