Question

如圖，將圓C放置在直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以及點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，）。

（1）求圓心的坐標(biāo)以及圓C的半徑； （4分）

（2）設(shè)弧OB的中點(diǎn)為D，請(qǐng)求出同時(shí)經(jīng)過(guò)O,A,D三個(gè)點(diǎn)的拋物線解析式。

并判斷該拋物線的頂點(diǎn)是否在圓C上，說(shuō)明理由。（6分）

（3）若（2）中的拋物線上存在點(diǎn)P（m，n），滿足∠APB為鈍角，直接寫(xiě)出m的取值范圍。（2分）

Answer 1

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，）；

（2）頂點(diǎn)不在圓C上；

（3）-1<m<0或2<x<3.

【解析】

試題解析：【解析】
∵∠AOB＝90°，

∴AB為圓直徑

∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，）

∴AB＝

∴⊙O的半徑是2，

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OA垂足為N點(diǎn)，

∴N是OA中點(diǎn)

∴CN=OB=，ON=1

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，）；

（2）如下圖所示，

連接OD交OB于點(diǎn)M

∴CD⊥OB于點(diǎn)M

∴CM=OA=1

∴MD=1

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，）

∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，

∴設(shè)所求拋物線的解析式為

把點(diǎn)D（-1，）、A（2，0）代入解析式得：

解得

∴拋物線解析式為：

配方得：，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，）

該點(diǎn)到圓心C的距離是

所以頂點(diǎn)不在圓C上；

（3）∵AB是圓的直徑，

∴當(dāng)拋物線上的點(diǎn)在圓內(nèi)部時(shí)，∠APB是鈍角，

∴m的取值范圍是-1<m<0或2<x<3.

考點(diǎn)：二次函數(shù)解析式的求法、圓的基本性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法與圓的基本性質(zhì).求二次函數(shù)的解析式的常用方法是待定系數(shù)法.