Question

【題目】如圖，已知一次函數y=2x+2的圖象與y軸交于點B，與反比例函數y= 的圖象的一個交點為A（1，m）．過點B作AB的垂線BD，與反比例函數y= （x＞0）的圖象交于點D（n，﹣2）．

（1）求k1和k2的值；
（2）若直線AB、BD分別交x軸于點C、E，試問在y軸上是否存在一個點F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（1，m）代入一次函數y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），

將A（1，4）代入反比例解析式y= 得：k1=4；

過A作AM⊥y軸，過D作DN⊥y軸，

∴∠AMB=∠DNB=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，

∴∠ABM+∠DBN=90°，

∴∠BAM=∠DBN，

∴△ABM∽△BDN，

∴ = ，即 = ，

∴DN=8，

∴D（8，﹣2），

將D坐標代入y= 得：k2=﹣16

（2）

解：符合條件的F坐標為（0，﹣8），理由為：

由y=2x+2，求出C坐標為（﹣1，0），

∵OB=ON=2，DN=8，

∴OE=4，

可得AE=5，CE=5，AC=2 ，BD=4 ，∠EBO=∠ACE=∠EAC，

若△BDF∽△ACE，則 = ，即 = ，

解得：BF=10，

則F（0，﹣8）．

綜上所述：F點坐標為（0，﹣8）時，△BDF∽△ACE．

【解析】（1）將A坐標代入一次函數解析式中求出m的值，確定出A的坐標，將A坐標代入反比例函數y= 中即可求出k1的值；過A作AM垂直于y軸，過D作DN垂直于y軸，可得出一對直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ABM與三角形BDN相似，由相似得比例，求出DN的長，確定出D的坐標，代入反比例函數y= 中即可求出k2的值；（2）在y軸上存在一個點F，使得△BDF∽△ACE，此時F（0，﹣8），理由為：由y=2x+2求出C坐標，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE為三角形BDN的中位線，求出OE的長，進而利用兩點間的距離公式求出AE，CE，AC，BD的長，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的長，即可確定出此時F的坐標，
再利用BD=DF時，進而得出即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解一次函數的性質(一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小)，還要掌握反比例函數的圖象(反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點)的相關知識才是答題的關鍵．