Question

如圖：直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=CD，O是BD的中點，E是CD延長線上一點，作OF⊥OE交DA的延長線于F，OE交AD于H，OF交AB于G，交CD于K，以下結論：
①OE=OF；②OH=FG；③DF-DE=BD；④四邊形OHDK的面積是△BCD面積的一半，
其中結論正確的是（ ）

A．②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：連接OC，根據題意，推出OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，∠DOH=∠COK，得△DOH≌△COK，得OH=OK，即可推出△FOH≌△EOK，即可①OE=OF，然后根據結論①，推出△FOD≌△EOC，得CE=DF，由等腰直角三角形BCD，得CD=BD，即可推出結論③，結合圖形S_△BCD=S_△OCK+S_△DOK，結合△DOH≌△COK，即可推出結論④．
解答：解：∵O為BD中點，BC=CD，BC⊥CD，
∴OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，OC⊥BD，
∵EO⊥FO，
∴∠DOH=∠COK，
∴△DOH≌△COK，
∴OH=OK，∠EKO=∠FHO，
∴△FOH≌△EOK，
∴OE=OF，
∵△DOH≌△COK，
∴∠EOD=∠KOC，
∴∠FOD=∠EOC，
∵∠OCK=∠ODH=45°，OC=OD，
∴△FOD≌△EOC，
∴CE=DF，
∵CD=BD，
∴CE-DE=BD；
∴DF-DE=BD；
∵△DOH≌△COK，
∵S_△BOC=S_△DOC，
∴S_{四邊形OHDK}=S_△OCK+S_△DOK=S_△BCD．
故選D．
點評：本題主要考查全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質、直角梯形的性質，解題的關鍵在于根據題意連接OC，求證△DOH≌△COK，推出△FOH≌△EOK結論①，在結論①基礎上即可推出結論③和結論④．