Question

如圖，已知拋物線y=x²-4x+3與x 軸交于兩點A、B，其頂點為C．
（1）對于任意實數m，點M（m，-2）是否在該拋物線上？請說明理由；
（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）已知點D在x軸上，那么在拋物線上是否存在點P，使得以B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假如點M（m，-2）在該拋物線上，則-2=m²-4m+3，通過變形為：m²-4m+5=0，由根的判別式就可以得出結論．
（2）如圖，根據拋物線的解析式求出點C的坐標，再利用勾股定理求出AB、AC和BC的值，由勾股定理的逆定理就可以得出結論．
（3）假設存在點P，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，因此連接點P與點C的線段應被x軸平分，就可以求得P點的縱坐標為1，代入拋物線的解析式就可以求出P點的橫坐標．
解答：解：（1）假如點M（m，-2）在該拋物線上，
∴-2=m²-4m+3，
∴m²-4m+5=0，
∴△=（-4）²-4×1×5=-4＜0，
∴此方程無實數解，
∴點M（m，-2）不會在該拋物線上；

（2）過點C作CH⊥x軸，交x軸與點H，連接CA、CB，
如圖，當y=0時，x²-4x+3=0，x₁=1，x₂=3，由于點A在點B左側，
∴A（1，0），B（3，0）
∴OA=1，OB=3，
∴AB=2
∵y=x²-4x+3
∴y=（x-2）²-1，
∴C（2，-1），
∴AH=BH=CH=1
在Rt△AHC和Rt△BHC中，由勾股定理得，
AC=，BC=，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）存在這樣的點P．
根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，因此連接點P與點C的線段應被x軸平分，
∴點P的縱坐標是1，
∵點P在拋物線y=x²-4x+3上，
∴當y=1時，即x²-4x+3=1，解得x₁=2-，x₂=2+，
∴點P的坐標是（2-，1）或（2+，1）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理的逆定理的運用，根的判別式的使用，平行四邊形的判定及性質．