Question

（本小題滿分7分）

如圖，已知拋物線y₁=-x²+bx+c經過A(1,0)，B(0,-2)兩點，頂點為D．

1.（1）求拋物線y₁ 的解析式；

2.（2）將△AOB繞點A逆時針旋轉90°后，得到△AO′ B′ ，將拋物線y₁沿對稱軸平移后經過點B′ ，寫出平移后所得的拋物線y₂ 的解析式；

3.（3）設（2）的拋物線y₂與軸的交點為B₁，頂點為D₁，若點M在拋物線y₂上，且滿足△MBB₁的面積是△MDD₁面積的2倍，求點M的坐標．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：(1)已知拋物線y₁=-x²+bx+c經過點A(1,0)， B(0,-2)，       

∴    解得

∴ 所求拋物線的解析式為y₁=-x² +3x-2

2.（2）解法1： ∵ A(1,0)，B(0,-2)，  ∴ OA=1,OB=2．

      由旋轉性質可得O′A=OA=1，O′B′=OB=2．

∴ B′ 點的坐標為 (3，-1) ．

      ∵ 拋物線y₁的頂點D (,)，且拋物線y₂ 是由y₁沿對稱軸平移后得到的，

∴ 可設y₂ 的解析式為y₂= - (x -)² +k ．

∵ y₂經過點B′，∴ - (3 -)² +k= -1．解得k=．

∴ y₂= - (x -)² +．…………………………………………………………… 4′

解法2：同解法1 得B′ 點的坐標為 (3，-1) ．

∵ 當x=3時，由y₁=-x² +3x-2得y=-2，可知拋物線y₁過點 (3，-2) ．

∴ 將拋物線y₁沿y軸向上平移1個單位后過點B′．

∴ 平移后的拋物線y₂的解析式為：y₂=-x² +3x-1

3.（3）∵ y₁=-x²+3x-2 = -(x-)² +，y₂=-x² +3x-1= -(x-)² +，

∴ 頂點D(,)，D₁(,)． ∴ DD₁=1．

又B₁(0，-2)，B₁(0，-1)，∴ BB₁=1．

 設M點坐標為(m，n) ，

∵ BB₁=DD₁，由，

可知當m≤0時，符合條件的M點不存在；…………………………………… 5′

  而當0<m<時，有m=2(-m)，解得m=1；

當m>時，有m=2(m -)，解得m=3．

當m=1時，n=1； 當m=3時，n=-1．

∴ M₁(1,1)，M₂ (3,-1)．

【解析】略