Question

2013年10月，臺風“菲特”來襲，寧波余姚被雨水“圍攻”，如圖，當地有一拱橋為圓弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，當洪水泛濫，水面跨度縮小到30米時要采取緊急措施，當時測量人員測得水面A₁B₁到拱頂距離只有4米，問是否要采取緊急措施？請說明理由．

Answer 1

分析：連接OA、OA₁，由垂徑定理可得：AM=MB=30m，再分別解Rt△AMO、Rt△ONA₁即可得出A₁B₁的長度，將A₁B₁的長度與30m作比較，若它大于30m，則不需要采取緊急措施；若它小于30m，則需要采取緊急措施．

解答：解：連接OA、OA₁，如下圖所示：

由題可得：AB=60m，PM=18m，PN=4m，OA=OA₁=OP=R
OP⊥AB，OP⊥A₁B₁
由垂徑定理可得：AM=MB=30m
在Rt△AMO中，由勾股定理可得：
AO²=AM²+MO²
即R²=30²+（R-18）²
解得R=34m
∵PN=4m，OP=R=34m
∴ON=30m
在Rt△ONA₁中，由勾股定理可得：
A₁N²=A₁O²-ON²
可得A₁N=16m
故A₁B₁=32m＞30m
故不用采取緊急措施．

點評：本題考查了垂徑定理在實際問題中的運用，另外，求是否采取緊急措施要轉換為A₁B₁的長度是否大于30m．