Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2﹣x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），交y軸于點C，點D的坐標為（0，﹣1），直線AD交拋物線于另一點E，點P是第二象限拋物線上的一點，作PQ∥y軸交直線AE于Q，作PG⊥AD于G，交x軸于點H

（1）求線段DE的長；

（2）設d=PQ﹣PH，當d的值最大時，在直線AD上找一點K，使PK+EK的值最小，求出點K的坐標和PK+EK的最小值；

（3）如圖2，當d的值最大時，在x軸上取一點N，連接PN，QN，將△PNQ沿著PN翻折，點Q的對應點為Q′，在x軸上是否存在點N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)8．(2)K（﹣2，﹣3），最小值為8．(3)滿足條件的點N坐標為（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）．

【解析】

試題分析：（1）先求出點A坐標，求出直線AD的解析式，利用方程組求出點E坐標，利用兩點間距離公式即可解決問題．

（2）構建二次函數，求出d最大時點P坐標，作EM⊥PQ交PQ的延長線于M，作KN⊥EM于N．只要證明PM就是PK+EK的最小值即可解決問題．

（3）分四種情形①如圖2中，當Q′Q=AQ′時，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，連接PA，在PF上取一點E，使得PE=EN．設FN=x，則PE=EN=2x，EF=x，列出方程求解即可．②如圖3中，當N與A重合時△AQQ′是等腰三角形．此時N（，0）．③如圖4中，當N與B重合時，△AQQ′是等腰三角形，此時N（﹣3，0）．④如圖5中，當Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一點E，使得PE=BE．在Rt△PEF中解直角三角形即可解決問題．

試題解析：（1）對于拋物線y=﹣x2﹣x+3，

令y=0，得﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或，∴A（，0），B（﹣3，0），

∵D（0，﹣1），

設直線AD的解析式為y=kx+b，則有解得，

∴直線AD的解析式為y=x﹣1．

由解得或，∴點E坐標為（﹣4，﹣5），

∴DE==8．

（2）如圖1中，設P（m，﹣ m2﹣x+3）則Q（m， m﹣1）．

∵tan∠OAD==，∴∠OAD=30°，∵PG⊥AE，∴∠AGH=90°，∴∠AHG=∠PHF=60°，

∴PH=，

∴d=PQ﹣PH=﹣m2﹣m+3﹣×（﹣m2﹣m+3）=﹣（m+2）2+，

∵﹣＜0，

∴m=﹣2時，d的值最大，P（﹣2，3），

作EM⊥PQ交PQ的延長線于M，作KN⊥EM于N．

∵∠AEM=∠OAD=30°，

∴KN=EK，QM=EQ，

∴PK+EK=PK+KN≤PM，

∴當K與Q重合時，PK+EK的值最小，

此時K（﹣2，﹣3），最小值為8．

（3）①如圖2中，連接PA，在PF上取一點E，使得PE=EN．

∵PF=3，AF=3，∴tan∠AFP=，∴∠PAF=30°，∠PAQ=60°，∵PF=FQ，AF⊥PQ，

∴AP=AQ，∴△PAQ是等邊三角形，當Q′Q=AQ′時，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，

∴∠NEF=30°，設FN=x，則PE=EN=2x，EF=x，∵PF=3，∴2x+x=3，∴x=6﹣3，

∴OF=2﹣6+3=5﹣6，∴N（6﹣5，0）．

②如圖3中，當N與A重合時△AQQ′是等腰三角形．此時N（，0）．

③如圖4中，當N與B重合時，△AQQ′是等腰三角形，此時N（﹣3，0）．

④如圖5中，當Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一點E，使得PE=BE．

在Rt△PEF中，∵PF=3，∠PEF=30°，∴PE=NE=2PF=6，EF=PF=3，

∴ON=6+5，∴N（﹣6﹣5，0）．

綜上所述，滿足條件的點N坐標為（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）．