Question

（2007•越秀區一模）如圖1，△ABC表示一塊含有30°角的直角三角板，30°所對的邊AC的長為2，以斜邊AB所在直線為x軸，AB邊上的高所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求過A、B、C三點的拋物線所對應的二次函數關系式；
（3）如圖2，等腰直角△DEF的斜邊DE始終在x軸上移動，且DE=．問當其直角頂點F的初始位置落在y軸的負半軸時，△DEF經過怎樣的平移后點F才落在（1）中的拋物線上？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據含30°的直角三角形性質和勾股定理求出AC和AB的長，在Rt△AOC，同理可求出AO、CO的長，即可得到答案；
（2）根據題意設所求拋物線的關系式為y=a（x-3）（x+1），把C的坐標代入就能求出a的值，即可求出拋物線的解析式；
（3）根據等腰Rt△DEF的性質，能求出F的坐標，因為平移，所以點的縱坐標與F的縱坐標相等，把y=-代入拋物線的解析式即可求出x的值，就能得到答案．
解答：（1）解：在Rt△ABC中，
∵∠CBA=30°，AC=2，
∴∠CAB=60°，AB=4，
由勾股定理得：BC=2，
∴在Rt△AOC中，∠ACO=30°，
∴AO=1，CO=，
∴BO=AB-AO=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，），
答：A、B、C三點的坐標分別是（-1，0），（3，0），（0，）．

（2）解：根據題意設所求拋物線的關系式為y=a（x-3）（x+1），
∵過點C（0，），
∴-3×a=，解得a=．
∴所求拋物線的關系式為y=（x-3）（x+1），即y=x²+x+，
答：過A、B、C三點的拋物線所對應的二次函數關系式是y=x²+x+．

（3）解：在等腰Rt△DEF中，
∵DE=2，
即：OF=，
∴F（0，-）
當y=-，
∴（x-3）（x+1）=-．解得x₁=，x₂=．
∴△DEF向右平移（）個單位或者向左平移（）個單位，點F才落在（1）中的拋物線上，
答：當其直角頂點F的初始位置落在y軸的負半軸時，△DEF經過向右平移（）個單位或者向左平移（）個單位后，點F才落在（1）中的拋物線上．
點評：本題考查對用待定系數法求二次函數的解析式，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，三角形的內角和定理，勾股定理，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，題型較好．