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在△ABC中,∠ACB=90°,∠A<45°,點O為AB中點,一個足夠大的三角板的直角頂點與點O重合,一邊OE經過點C,另一邊OD與AC交于點M.

(1)如圖1,當∠A=30°時,求證:MC2=AM2+BC2

(2)如圖2,當∠A≠30°時,(1)中的結論是否成立?如果成立,請說明理由;如果不成立,請寫出你認為正確的結論,并說明理由;

(3)將三角形ODE繞點O旋轉,若直線OD與直線AC相交于點M,直線OE與直線BC相交于點N,連接MN,則MN2=AM2+BN2成立嗎?

答:    (填“成立”或“不成立”)

 

【答案】

解:(1)證明:如圖,過A作AF⊥AC交CO延長線于F,連接MF,

∵∠ACB=90°,∴BC∥AF!唷鰾OC∽△AOF。

∵O為AB中點,∴OA=OB!郃F=BC,CO=OF。

∵∠MOC=90°,∴OM是CF的垂直平分線。

∴CM=MF。

在Rt△AMF中,

由勾股定理得:MF2=AM2+AF2=AM2+BC2,

即MC2=AM2+BC2。

(2)還成立。理由如下:

如圖,過A作AF⊥AC交CO延長線于F,連接MF,

∵∠ACB=90°,∴BC∥AF!唷鰾OC∽△AOF。

。

∵OA=OB,∴AF=BC,CO=OF。

∵∠MOC=90°,∴OM是CF的垂直平分線。

∴CM=MF。

在Rt△AMF中,

由勾股定理得:MF2=AM2+AF2=AM2+BC2,

即MC2=AM2+BC2。

(3)成立

【解析】

試題分析:(1)過A作AF⊥AC交CO延長線于F,連接MF,根據相似求出AF=BC,CO=OF,求出FM=CM,根據勾股定理求出即可。

(2)過A作AF⊥AC交CO延長線于F,連接MF,根據相似求出AF=BC,CO=OF,求出FM=CM,根據勾股定理求出即可;

(3)結論依然成立。

如圖,以MN的中點P為圓心,MN為直徑畫圓,則因為∠ACB=90°,∠DOE=90°,所以,根據圓周角定理,O、C在⊙P上。

若MN與AB不平行,設⊙P與AB交于另一點F,

根據割線定理,得

∵點O為AB中點,

。

兩式相加,得,即。

若MN與AB平行,則易證⊙P與AB相切于點O,

根據切割線定理,得,即

兩式相加,得,即。

∴不論MN與AB平行與否,總有。

在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2,∴

在Rt△MNC中,由勾股定理得:MN2=CM2+CN2,即,

 

練習冊系列答案
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在△ABC中,AC=8,BC=6,AB=10,則△ABC的外接圓半徑長為( 。
A、10B、5C、6D、4

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精英家教網如圖,在△ABC中,AC=
 

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17、在△ABC中,AC=5,中線AD=4,那么邊AB的取值范圍為( 。

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,AC與⊙O相切于點A,AC=AB=2,⊙O交BC于D.
(1)∠C=
45
45
°;
(2)BD=
2
2

(3)求圖中陰影部分的面積(結果用π表示).

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•松江區二模)如圖,已知在△ABC中,AC=15,AB=25,sin∠CAB=
45
,以CA為半徑的⊙C與AB、BC分別交于點D、E,聯結AE,DE.
(1)求BC的長;
(2)求△AED的面積.

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