Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，△ACE為AC為底的等腰直角三角形，連接BE交AD、AC分別于F、N，CM平分∠ACB交BN于M，下列結論：（1）BE⊥ED；（2）AB=AF；（3）EM=EA；（4）AM平分∠BAC
其中正確的結論有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：連接DE，由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根據圓周角定理的推論得到點A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上，再利用矩形的性質可得AE=ME，即①正確；再根據圓周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，易證△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即②正確；由②得到∠ABF=∠AFB=45°，求出∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，即③正確；根據等腰三角形性質求出∠EAM=∠AME，推出∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=45°+∠BAM，即可判斷（4）．
解答：解：連接DE．
∵四邊形ABCD為矩形，△ACE為AC為底的等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴點A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上，
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°，
∴BE⊥ED，故（1）正確；
∵點A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上，
∴∠AEF=∠CED，∠EAF=∠ECD，
又∵△ACE為等腰直角三角形，
∴AE=CE，
在△AEF和∉CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，
而CD=AB，
∴AB=AF，即（2）正確；
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，
∵CM平分∠ACB交BN于M，
∴∠EMC=∠ECM，
∴EC=EM，
∴EM=EA，即（3）正確；
∵AB=AF，∠BAD=90°，EM=EA，
∴∠ABF=∠CBF=45°，∠EAM=∠AME，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=45°，
∴∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠BAM=∠NAM，∴（4）正確；
故選D．
點評：本題考查了圓周角定理以及推論：同弧所對的圓周角相等，90度的圓周角所對的弦為直徑；也考查了等腰三角形和矩形的性質、勾股定理以及三角形相似的判定與性質，通過做此題培養了學生的推理能力，此題綜合性比較強，有一定的難度．