Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，OA=3，OC=4，P為直線AB上一動點，將直線OP繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°交直線BC于點Q；

（1）當(dāng)點P在線段AB上運動（不與A，B重合）時，求證：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的條件下，設(shè)點P的橫坐標為m，線段CQ的長度為l，求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式，并判斷l(xiāng)是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；
（3）直線AB上是否存在點P，使△POQ為等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形OABC為矩形 ∴∠OAP=∠QBP=90°， ∵∠OPQ=90°， ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP， ∴∠BPQ=∠AOP， ∴△AOP∽△BPQ， ∴， ∴OA·BQ=AP·BP；
（2）由（1）知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ=m（4-m）， ∴， ∴CQ=3-， 即L==， ∴當(dāng)m=2時，L（最小）=；
（3）∵∠OPQ=90°， ∴要使△POQ為等腰三角形，則PO=PQ， 當(dāng)點P在線段AB上時，如圖（1）， △AOP≌△BPQ， ∴PB=AO=3， ∴AP=4-3=1， ∴P1（1，3）， 當(dāng)點P在線段AB的延長線上時，如圖（2） 此時△QBP≌△PAO， ∴PB=AO=3， ∴AP=4+3=7， ∴P2（7，3）， 當(dāng)點P在線段AB的反向延長線上時，如圖（3） 此時∵PB＞AB＞AO， ∴△PQB不可能與△OPA全等， 即PQ不可能與PO相等，此時點P不存在， 綜上所述，知存在P1（1，3），P2（7，3）。