Question

已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點E為邊BC上一點，且AE=DC．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）當∠B=2∠DCA時，求證：四邊形AECD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰梯形的性質（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性質（等邊對等角）證得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，則四邊形AECD為平行四邊形；
（2）根據平行線的性質，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代換即可證得∠EAC=∠ECA，根據等角對等邊，即可得AE=CE，則四邊形AECD為菱形．
解答：證明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠DCB，（1分）
∵AE=DC，
∴AE=AB，（1分）
∴∠B=∠AEB，（1分）
∴∠DCB=∠AEB，（1分）
∴AE∥DC，（1分）
∴四邊形AECD為平行四邊形；（1分）

（2）∵AE∥DC，
∴∠EAC=∠DCA，（1分）
∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，
∴∠DCB=2∠DCA，（1分）
∴∠ECA=∠DCA，（1分）
∴∠EAC=∠ECA，（1分）
∴AE=CE，（1分）
∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴四邊形AECD為菱形．（1分）
點評：此題考查了等腰梯形的性質、平行四邊形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定與性質．解題的關鍵是仔細識圖，應用數形結合思想解答．