Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸的交點為A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP、DP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E．

（1）求該拋物線的函數關系表達式；

（2）當CP+DP的值最小時，求E點的坐標；

（3）在第四象限的拋物線上任取一點M，連接MN、MB，是否存在點M使得△MNB為直角三角形；若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線函數關系表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）點E（0，2）；（3）點M的坐標為 或（1，﹣4）．

【解析】

（1）把A、B兩點坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）如圖，過點C作關于x軸的對稱點H（3，﹣4），連接HD交x軸于點P，交y軸于點E，CP+DP＝PH+PD＝DH為最小，即可求解；

（3）分∠BNM為直角、∠NMB為直角兩種情況，分別求解即可．

（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0），

把A、B兩點坐標代入上式，，解得，

故拋物線函數關系表達式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，過點C作關于x軸的對稱點H（3，﹣4），連接HD交x軸于點P，交y軸于點E，

則CP+DP＝PH+PD＝DH為最小，

設直線DH的表達式為：y＝kx+t，則，解得，

故直線DH的表達式為：y＝﹣2x+2，

令x＝0，則y＝2，

故點E（0，2）；

（3）從圖上可以看出，∠NBM≠90°；

①當∠BNM為直角時，

∵OB＝OC，

∴∠ONB＝45°，

則NM與y軸負半軸的夾角為45°，

而點N（0，﹣3），設拋物線的頂點為K，則其坐標為（1，﹣4），

從N、K的坐標看，NK與y軸負半軸的夾角為45°，

故點K與點M重合，故點M（1，﹣4）；

②當∠NMB為直角時，

∵∠NOB＝90°，

∴O、B、M、N四點共圓，

設該圓的圓心為R，R是NB的中點，故R的坐標為（，﹣），

設圓的半徑為r，則r＝NB＝；

設點M（x，y），y＝x2﹣2x﹣3，

則RM＝r，即（x﹣）2+（y+）2＝（）2，

整理得：（x﹣3）+y（x﹣2）＝0，

即（x﹣3）[1+（1+x）（x﹣2）]＝0，

解得：x＝或（舍去）或3（舍去），

故點M的坐標為（，﹣）；

綜上，點M的坐標為（，﹣）或（1，﹣4）．