Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．

【小題1】求證：AD⊥DC
【小題2】若，，求的值以及AB的長．

Answer 1

【小題1】連接OC
∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA             ---------------------------------1分
又∵CD與圓O相切
∴∠OCD=90°
即∠OCA+∠DCA=90°
∴∠CAO+∠DCA=90°
又∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC+∠DCA=90°
∴∠ADC=90°
即AD⊥DC                  ---------------------------------4分
【小題2】連接BC
∵AD⊥DC∴
因為AB為圓O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠ADC=∠ACB=90°
又∵∠DAC=∠CAO
∴△ADC∽△ACB
∴即    
∴                         ---------------------------------2分
        ---------------------------------3分   解析:
（1）連接OC，根據切線的性質得到OC與CD垂直，進而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC為角平分線，根據角平分線定義得到兩個角相等，又OA=OC，根據等邊對等角得到又得到另兩個角相等，等量代換后得到∠DAC=∠OCA，根據等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，從而得到∠ADC為直角，得證；
（2）先用勾股定理求出AC的長度，再利用△ADC∽△ACB求出AB的長度，然后利用直角三角形的性質求出的值.