Question

在△ABC中，點D、E、F順次在邊AB、BC、CA上，設AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，其中p、q、r是正數，且使，，則S_△DEF：S_△ABC=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據三角形面積關系求得S_△ADF=（1-r）•p•S_△ABC，S_△BDE=（1-q）•r•S_△ABC，S_△EFC=（1-p）•q•S_△ABC，又由（p+q+r）²=（p²+q²+r²）+2（pr+qr+pq），p+q+r=，p²+q²+r²=，則可求得答案．
解答：解：如圖：
∵AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，
∴S_△ADF=（1-r）•p•S_△ABC，S_△BDE=（1-q）•r•S_△ABC，S_△EFC=（1-p）•q•S_△ABC，
∴S_△DEF=S_△ABC-S_△ADF-S_△BDE-S_△EFC=[1-（1-r）•p-（1-q）•r-（1-p）•q]•S_△ABC=[1-（p+q+r）+（pr+qy+pq）]•S_△ABC，
∵（p+q+r）²=（p²+q²+r²）+2（pr+qr+pq），p+q+r=，p²+q²+r²=，
∴pr+qr+pq=[（p+q+r）²-（p²+q²+r²）]=，
∴S_△DEF=（1-+）•S_△ABC=S_△ABC，
∴S_△DEF：S_△ABC=16：45．
故答案為：16：45．
點評：此題考查了三角形面積之間的關系以及完全平方公式的變形．此題難度較大，注意數形結合與整體思想的應用．