Rt△ABC在平面直角坐標系中的初始位置如圖1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，點A在x軸上由原點O開始向右滑動，同時點B在y軸上也隨之向點O滑動，如圖2所示；當點B滑動至點O重合時，運動結束．在上述運動過程中，⊙G始終以AB為直徑．

（1）試判斷在運動過程中，原點O與⊙G的位置關系，并說明理由；
（2）設點C坐標為（x，y），試求出y與x的關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）根據對問題（1）、（2）的探究，請你求出整個過程中點C運動的路徑的長．

解：（1）原點O與⊙G的位置關系是：點O在⊙G上；
如圖3，連接OG，∵∠AOB是直角，G為AB中點，
∴GO= $\text{[math]}$ AB=半徑，故原點O始終在⊙G上．

（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴∠ABC=30°．
連接OC，過點C作CD⊥x軸于點D，如圖4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，

在Rt△ODC中，tan∠COD= $\text{[math]}$ ，即tan30°= $\text{[math]}$ ，
∴y與x的關系式是： $\text{[math]}$ ．
自變量x的取值范圍是 $\text{[math]}$ ．

（3）∵由（2）中的結論可知，點C在與x軸夾角為30°的射線上運動．
∴如圖5，點C的運動路徑為：C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如圖6，點C的運動路徑為：C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3 $\text{[math]}$ ；
∴總路徑為：C₁C₂+C₂C₃= $\text{[math]}$ ．

分析：（1）因為OG始終是⊙G的半徑，所以原點O始終在⊙G上；
（2）運動過程中，弧AC的長保持不變，弧AC所對應的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，∠xOC=30°，y= $\text{[math]}$ ．即自變量x的取值范圍是 $\text{[math]}$ ≤x≤3 $\text{[math]}$ ；
（3）利用勾股定理可求得，點C運動的路程s=3 $\text{[math]}$ ．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2011•沙坪壩區模擬）如圖1，在同一平面內，Rt△ABC≌Rt△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3，AC=DF=4，AC與DF重合，△ABC始終保持不動．
（1）將△DEF沿CB（EB）方向平移，直到點E與點B重合為止，設平移的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，將△DEF繞點C逆時針旋轉，旋轉后得到的三角形為△D′E′F，設D′E′與AC交于點M，當∠ECE′=∠EAC時，求線段CM的長；
（3）如圖3，在△DEF繞點C逆時針旋轉的過程中，若設D′F所在直線與AB所在直線的交點為N，是否存在點N使△ACN為等腰三角形，若存在，求出線段BN的長，若不存在，請說明理由．