Question

【題目】科技改變著人們的生活，“高鐵出行”已成為人們的日常重要交通方式，如今，河南高鐵也在發生著日新月異的變化，2018年我省為連接A、B兩座城市之間的高鐵運行，某工程勘測隊在點E處測得城市A在北偏西16°方向上，城市B在北偏東60°方向上，該勘測隊沿正東方向行進了7.5km到達點F處，此時測得城市A在北偏西30°方向上，城市B在北偏東30°方向上

（1）請結合所學的知識判斷AB、AE的數量關系，并說明理由；

（2）求城市A和城市B之間的距離為多少公里？（結果精確到1km）（參考數據：≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96）

Answer 1

【答案】(1) AB＝AE,理由見解析；（2）城市A和城市B之間距離約為27km．

【解析】

（1）根據題意設立參考點并建立坐標系，標出方向角，利用余角的性質找到相等的對應角，在由題意已得到對應邊，證明三角形全等．
（2）構造直角三角形，利用三角函數表示涉及計算的各邊，并利用等量關系建立方程并求解即可．

解：（1）AB＝AE

理由如下：如圖

∵城市A在點E處北偏西16°方向上，城市B在點北偏東60°方向上．

∴∠AEH＝90°﹣16°＝74°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°

又∵城市A在點F北偏西30°方向上，城市B在點F處北偏東30°方向上．

∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°．∠BFN＝90°﹣30°＝60°

∴∠EBF＝60°﹣30°＝30°

∴EF＝BF

又∵∠BFA＝30°+30°＝60°

在△AEF與△ABF中

∴△AEF≌△ABF（SAS）

∴AB＝AE

（2）過A作AH⊥MN于點H．

設AE＝x，則AH＝xsin（90°﹣16°）＝xsin74°，HE＝xcos（90°﹣16°）＝xcos74°

∴HF＝xcos74°+7.5

∴在Rt△AHF中，AH＝HFtan60°

∴xsin74°＝（xcos74°+7.5）tan60°

即0.96x＝（0.28x+7.5）×1.73

解得x≈27，即AB≈27

答：城市A和城市B之間距離約為27km．