Question

（2008•泰安）在等邊△ABC中，點D為AC上一點，連接BD，直線l與AB，BD，BC分別相交于點E，P，F，且∠BPF=60度．
（1）如圖1，寫出圖中所有與△BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；
（2）若直線l向右平移到圖2，圖3的位置時（其它條件不變），（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出來（不證明），若不成立，請說明理由；
（3）探究：如圖1，當BD滿足什么條件時（其它條件不變），PF=PE？請寫出探究結果，并說明理由．
（說明：結論中不得含有未標識的字母）

Answer 1

【答案】分析：（1）△BPF∽△EBF與△BPF∽△BCD這兩組三角形都可由一個公共角和一組60°角來證得．
（2）成立，證法同（1）．
（3）先看PF=PE能得出什么結論．根據△BPF∽△EBF，可得BF2=PF•EF=3PF2，因此BF=PF，且∠BPF=60°，∵∠PFB=90°，∴∠PBF=90-60=30°，因此當BD平分∠ABC時，PF=PE．
解答：（1）答：△BPF∽△EBF與△BPF∽△BCD．
以△BPF∽△EBF為例，
證明如下：
∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF．

（2）解：均成立，均為△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．

（3）BD平分∠ABC時，PF=PE．
證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=PB．
又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP，
∴BP=EP，
∴PF=PE．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質、直角三角形的判定和性質等知識點．