Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，BC=6，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證明OD⊥ED即可．根據三角形中位線定理和平行線的性質可以證明．
（2）連接AD，則AD⊥BC．在Rt△ACD中運用射影定理計算求解．

解答：（1）證明：連接OD．
∵CD=DB，AO=OB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接AD．
∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵DC=BD，
∴AB=AC=10，CD=

1

2

BC=3．
在Rt△ACD中，
∵DE⊥AC，
∴CD²=CE•CA，
∴CE=

CD2

CA

=

9

10

．

點評：此題考查切線的判定、三角形中位線定理、射影定理等知識點，綜合性強，難度較大．