Question

在平面直角坐標系xOy中（O為坐標原點），已知拋物線y=x²+bx+c過點A（4，0），B（1，﹣3）．

（1）求b，c的值，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；

（2）設拋物線的對稱軸為直線l，點P（m，n）是拋物線上在第一象限的點，點E與點P關于直線l對稱，點E與點F關于y軸對稱，若四邊形OAPF的面積為48，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，設M是直線l上任意一點，試判斷MP+MA是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及相應的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點A（4，0），B（1，﹣3），

∴．

解得：．

∴y=x²﹣4x=（x﹣2）²﹣4．

∴拋物線的對稱軸為x=2，頂點為（2，﹣4）．

（2）如圖1，

∵點P（m，n）與點E關于直線x=2對稱，

∴點E的坐標為（4﹣m，n）．

∵點E與點F關于y軸對稱，

∴點F的坐標為（m﹣4，n）．

∴PF=m﹣（m﹣4）=4．

∴PF=OA=4．

∵PF∥OA，

∴四邊形OAPF是平行四邊形．

∵S_▱OAPF=OA•=4n=48，

∴n=12．

∴m²﹣4m=n=12．

解得：m₁=6，m₂=﹣2．

∵點P是拋物線上在第一象限的點，

∴m=6．

∴點P的坐標為（6，12）．

（3）過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，

在（2）的條件下，有P（6，12），E（﹣2，12），

則AH=4﹣（﹣2）=6，EH=12．

∵EH⊥x軸，即∠EHA=90°，

∴EA²=EH²+AH²=12²+6²=180．

∴EA=6．

∵點E與點P關于直線l對稱，

∴MP=ME．

∴MP+MA=ME+MA．

根據“兩點之間線段最短”可得：

當點E、M、A共線時，MP+MA最小，最小值等于EA的長，即6．