Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，3），線段AB垂直于y軸，垂足為B，將線段AB繞點A逆時針方向旋轉90°，點B落在點C處，直線BC與x軸的交于點D．
（1）試求出點D的坐標；
（2）試求經過A、B、D三點的拋物線的表達式，并寫出其頂點E的坐標；
（3）在（2）中所求拋物線的對稱軸上找點F，使得以點A、E、F為頂點的三角形與△ACD相似．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A點坐標，根據AB的長以及線段AB的旋轉條件確定點C的坐標，利用待定系數法即可確定直線BC的解析式，進一步能求出點D的坐標．
（2）利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，通過配方能得到頂點E的坐標．
（3）首先畫出對應的圖形，根據A、B、C、D四點坐標，能判斷出∠ACD=135°，結合A、E的坐標，首先確定點F的大致位置，然后根據相似三角形的對應邊成比例求出點F的坐標．
解答：解：（1）點C的坐標為（2，1）
設直線BC的表達式為y=mx+n（m≠0）．
易得，
解得 ，
所以直線BC的表達式為y=-x+3．
當y=0時，0=-x+3，x=3．
所以點D的坐標為（3，0）．

（2）設經過A、B、D三點的拋物線的表達式
為y=ax²+bx+c（a≠0）
易得  
解得 
因此，所求的拋物線的表達式為y=-x²+2x+3．
其頂點E坐標為 （1，4）．

（3）點F在y=-x²+2x+3的對稱軸（即直線x=1）上，所以設點F的坐標為（1，m）．
由題意可得 AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，∠ACD=180°-∠ACB=135°．
所以若以A、E、F為頂點的三角形與△ACD相似，△AEF必有一個角的度數為135°，
由此可得點F必定在點E的上方，∠AEF=∠ACD=135°，EF=m-4
所以當=或=時，
以A、E、F為頂點的三角形與△ACD相似．
由點D（3，0）、C（2，1）、A（2，3）、E（1，4）
易得AC=3-1=2，CD=，AE=．
∴=或=．
解得 m=6或m=5．
故符合題意的點F有兩個，其坐標為（1，5）或（1，6）．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識；（3）題在不確定相似三角形的對應邊的情況下，要分類討論，以免漏解．