Question

已知：如圖，O是△ABC的外心．∠CAE=∠B．
（1）求證：AE是⊙0的切線．
（2）當點B繞著點0順時針旋轉．使外心O恰好在BC邊上或在△ABC內時，（1）中的結論是否仍然成立？請畫圖并證明你的判斷．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接CO并延長CO交⊙O于B'，連接B'A，由于B'O、OA、OC均為⊙O半徑，利用等腰三角形的性質得到∠1=∠2，∠3=∠4，接著利用三角形的內角和定理可以證明∠CAE+∠3=90°，最后利用切線的判定方法即可求解；
（2）結論成立；證明方法和（1）的思路一樣．
解答：（1）證明：延長CO交⊙O于B'，連接B'A．
∵B'O、OA、OC均為⊙O半徑，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠CAE=∠1，∠3=∠4，
∴∠CAE+∠3=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE為⊙O切線；

（2）成立．
證明：∵BO、AO、CO為半徑，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2，∠1=∠CAE，
∴∠2=∠CAE，
∴∠CAE+∠3=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE為⊙O切線．
點評：此題主要考查了切線的判定，同時也利用了圓周角定理及等腰三角形的性質，也利用了分類討論的思想．