Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點C(0，3)，與x軸分別交于點A，點B(3，0)，AB=4．

(1)求二次函數y=ax2+bx+c的表達式；

(2)點M是二次函數對稱軸上一動點，當點M運動到什么位置時，△ACM的周長最小？求出此時M點的坐標；

(3)點P是直線BC上方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ACPB的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）(1，2)（3）當點P的坐標為(，)時，四邊形ACPB的最大面積值為

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）要使△ACM的周長最小，AC長不變，即為AM+CM的和最小, 點A、點B關于對稱軸對稱，所以點M為對稱軸與直線BC的交點；

（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PQ的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．

(1)因為AB=4，所以A點的坐標(－1，0)，

將點A、點B和點C的坐標代入函數解析式，得

,解得

二次函數的解析式為y=﹣x2+2x+3；

(2)對稱軸x=1，要使△ACM的周長最小，AC長不變，即為AM+CM的和最小．

點A、點B關于對稱軸對稱，所以點M為對稱軸與直線BC的交點．

設直線BC的解析式為y=kx+t，

將點B和點C的坐標代入函數解析式，得

解得

直線BC的解析為y=﹣x+3，

當x=1時，y=2.則M(1，2)

(3)如圖2，過點P，PF⊥x軸，交CB于點Q

P在拋物線上，設P(m，﹣m2+2m+3)，

直線BC的解析為y=﹣x+3，

設點Q的坐標為(m，﹣m+3)，

PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m．

AB=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+（-m2+3m）×3

=-（m-）2+，

當m=時，四邊形ABPC的面積最大．

當m=時，-m2+2m+3=，即P點的坐標為（，）．

當點P的坐標為（，）時，四邊形ACPB的最大面積值為．