Question

(滿分l2分)學完“等邊三角形”這一節后，老師布置了一道思考題：
如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．
求證：∠BQM=60°．
(1)請你完成這道思考題；
(2)做完(1)后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題?
②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°?
③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°?
請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：①______；②______；③______．并對②，③的判斷，選擇一個給出證明．

Answer 1

(1)證明：∵BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC．


∴△ABM≌△BCN．∴∠BAM=∠CBN．
∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°            ……4分
(2)①是；②是；③否．                           ……7分
②的證明：如圖D4-2，
∵∠ACM=∠BAN=120°，CM=AN，AC=AB，
∴△ACM≌△BAN．∴∠AMC=∠BNA．
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ∴∠NBC+∠BNA=180°-60°=l20°．
∴∠BQM=60°．
③的證明：如圖D4—3，
∵BM=CN，AB=BC，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN．
∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°．
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．                   ……l2分

解析