Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，在BC邊上取一點D，使BD=BA，連接AD．
求證：
（1）△ADC∽△BAC；
（2）點D是BC的黃金分割點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，可求得∠B與∠C的度數，又由BD=BA，∠BAD與∠CAD的度數，繼而可得∠CAD=∠B，又由∠C是公共角，即可證得△ADC∽△BAC；
（2）由△ADC∽△BAC，可得AC²=BC•CD，又由AC=AB=BD，即可得BD²=BC•CD，即可證得點D是BC的黃金分割點．
解答：證明：（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=72°，∠CAD=36°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC；

（2）∵△ADC∽△BAC，
∴，
∴AC²=BC•CD，
∵AC=AB=BD，
∴BD²=BC•CD，
∴點D是BC的黃金分割點．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及黃金分割．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．